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Procédures de vote en France : Peut mieux faire

[Les 3 premiers points de ce billet sont inspiré un plagia extrait de l’article scientifique « théorie du choix social et aide multicritère à la décision » de D. Bouyssou, Th. Marchant et P. Perny]

EDIT du 14/04/2012 : Suite aux commentaires de Droop, clarification de la section 4

 C’est la saison des élections, et comme à chaque fois en France, la question du vote « utile » réapparaît. Et pour résumer, en cette année de présidentielle, le jingle c’est « HollandUtil ou tu fais gagner Sarkozy ». J’entends, sauf que je croyais bêtement que lors d’une élection l’idée était de donner son opinion. Si je vote HollandUtil, je mens, et en plus il serait capable de (faire) croire que 53% des votants électeurs Français sont d’accord avec ses idées le bougre !

Dans mon jeune temps – j’ai réussi à retrouver et à déchiffrer mes cahiers d’antan, émouvant autant que prouesse archéologique – j’avais noté : « Une procédure de vote est  « bonne » si le résultat du vote permet de refléter le plus fidèlement possible les préférences des votants.  Ainsi, si une majorité de votants préfèrent les idées du candidat A à celles du candidat B, alors A doit l’emporter.»

Jusque là, rien de nouveau sous le soleil. Sauf que j’avais également noté que si la règle de la majorité marche bien avec 2 candidats, son adaptation pour les cas où ils sont plus nombreux pose un certain nombre de problèmes. Preuve en sont les Britanniques.

 1/ Les Britanniques sont nuls

Le système électoral au Royaume-Uni est un vote uninominal à un tour. Chaque électeur choisi 1 candidat, glisse son nom dans l’urne et celui recevant le plus de voix est élu. Imaginons un Royaume-Unis avec 21 électeurs et 3 candidats : Sarkozy, Hollande et Bayrou. Imaginons maintenant que je connaisse tous les électeurs et leurs préférences idéologiques.

 10 électeurs préfèrent Sarkozy à Bayrou et Bayrou à Hollande (et oui nous sommes en Grande-Bretagne), ce que nous noterons Sarkozy > Bayrou > Hollande.  6 électeurs préfèrent Bayrou à Hollande et Hollande à Sarkozy : Bayrou > Hollande > Sarkozy. Enfin, 5 électeurs préfèrent Hollande à Bayrou et Bayrou à Sarkozy : Hollande > Bayrou > Sarkozy. On a donc :

10 votants ont comme préférences   Sarkozy >   Bayrou    > Hollande
6 votants ont comme préférences     Bayrou   >  Hollande > Sarkozy
5 votants ont comme préférences     Hollande > Bayrou    > Sarkozy

Le résultat est relativement prévisible : Sarkozy 10 voix, Bayrou 6 et Hollande 5. Sarkozy est donc élu par 10 voix sur 21. Cependant ce résultat semble ne pas refléter très fidèlement les vœux de la majorité des électeurs. En effet, la majorité absolue des votants préfère tous les autres candidats à Sarkozy (11 votants sur 21) !

Heureusement, nous, Français, utilisons une procédure de vote à 2 tours :

2/ Les Français sont meilleurs…

Chez nous, seuls les 2 candidats ayant obtenu le plus de suffrages restent en lice au second tour. En gardant les mêmes électeurs et les mêmes candidats, regardons ce qu’il se passerait.
1er tour – identique au résultat britannique :

10 votants ont comme préférences Sarkozy  >  Bayrou    >  Hollande
6 votants ont comme préférences Bayrou     >  Hollande >  Sarkozy
5 votants ont comme préférences Hollande  >  Bayrou    >  Sarkozy

On élimine alors Hollande, qui avec 5 voix est en queue de peloton et on repart avec :
2éme tour (les électeurs de Hollande se rabattent sur leur 2ème choix)  :

10 votants ont comme préférences Sarkozy  >  Bayrou    >  Hollande
6 votants ont comme préférences Bayrou  >  Hollande  >  Sarkozy
5 votants ont comme préférences Hollande  >  Bayrou    >  Sarkozy

Bayrou remporte l’élection avec 11 voix sur 21 (majorité absolue). Et aucun candidat battu n’est préféré par une majorité absolue d’électeurs. Les Français semblent donc avoir choisi une meilleure procédure de vote…

 3/ … en fait non.

Comme évoqué dans l’introduction, avec notre mode d’élection actuel il peut être préférable de mentir sur ses opinions lors du vote pour empêcher un adversaire de gagner. On perds donc l’idée initiale d’une « bonne » procédure de vote permettant de représenter fidèlement l’avis de la majorité. Pire, notre procédure de vote n’incite pas à la participation. Le paradoxe du « pêcheur à la ligne en est une criante illustration.

 Nous sommes en France, un beau mois de mai, les oiseaux chantent et le brochet est de sortie. Nous retrouvons nos trois candidats Sarkozy, Hollande et Bayrou pour le premier tour de la présidentielle. Il est samedi matin, jour de vote, et les préférences des 11 électeurs que compte la France sont :

4 votants ont comme préférences Sarkozy > Bayrou > Hollande
4 votants ont comme préférences Hollande > Bayrou > Sarkozy
3 votants ont comme préférences Bayrou > Hollande > Sarkozy

Avec le système Français, si les électeurs respectent leurs convictions, Sarkozy et Hollande franchissent le premier tour, et Hollande gagne le second par 7 voix sur 11. Sauf que…supposons que 2 des électeurs de Sarkozy (1ere ligne), pas du tout intéressés par l’élection dans la mesure où les sondages donnent Hollande largement favori décident d’aller à la pêche plutôt qu’au bureau de vote. On se retrouve alors avec une population de 9 votants dont les préférences sont :

2 votants ont comme préférences Sarkozy > Bayrou > Hollande
4 votants ont comme préférences Hollande > Bayrou > Sarkozy
3 votants ont comme préférences Bayrou > Hollande > Sarkozy

Résultat des courses, nos deux pêcheurs ont gagnés leur journée. Non seulement ils ont pu profiter des meilleurs coin de pèche du fait de la faible fréquentation du plan d’eau en cette journée d’élection, mais en plus leur abstention va engendrer la défaite de Hollande face à Bayrou au second tour de la présidentielle. Bayrou sera en effet élu avec 5 voix sur 9. L’abstention d’électeurs hostiles à Hollande a entraîné sa défaite. Notre procédure de vote n’incite pas à la participation.

La procédure de vote actuellement utilisée en France pose un certain nombre problèmes. Nous avons vu ici un aperçu de ceux-ci (Cf l’article pour plus de détails et d’autres problèmes) en ce qu’elle n’incite pas à la participation et pousse les votants à mentir sur leurs préférences. N’existe-t-il pas de meilleure procédure de vote ?

 4/ On peut toujours faire mieux.

 Les résultats en théorie de la décision nous disent qu’il n’existe pas de procédure de vote « parfaite » pour une élection telle que la présidentielle. Quelle que soit la méthode retenue, elle aura (au moins) un inconvénient.
Ainsi, certaines procédures de vote ne garantissent pas de pouvoir déterminer un gagnant (cela ferait désordre dans une élection présidentielle), d’autres permettent de faire élire quelqu’un qui n’a pas la majorité des voix ou donnent un pouvoir de dictateur à certains votants… Et ce ne sont là que les exemples les plus parlants.

Il n’existe donc pas de procédure parfaite, soit. Mais tout de même, il existe des procédures de vote qui ne souffrent pas d’autant d’inconvénients que le vote à 2 tours du système Français. Parmi l’ensemble des procédures de vote portées à ma connaissance, une élection présidentielle reposant sur une variation de la méthode de Borda serait à mon sens une alternative intéressante.

Contrairement aux élections actuelles où chaque électeur glisse le nom d’un candidat dans l’urne, la méthode de Borda consiste à demander aux électeurs de trier les candidats. A la manière de ce que nous avons fait jusqu’à présent pour présenter les autres procédures de vote, chaque électeur glisserai dans l’urne non plus un nom mais une liste ordonnée de noms, du choix préféré au pire cas. Lors du dépouillement, la méthode de Borda attribue des points à chaque candidat en fonction de son rang sur les bulletins de vote des électeurs.

Si nous reprenons l’exemple du pécheur à la ligne (avant de partir à la pêche), les gens déposeraient dans l’urne :

4 votants ont comme préférences  Sarkozy > Bayrou > Hollande
4 votants ont comme préférences  Hollande > Bayrou > Sarkozy
3 votants ont comme préférences  Bayrou > Hollande > Sarkozy

 Si l’on donne 3 points au 1er, 2 points au 2ème et 1 au dernier, on obtient :

Sarkozy = 4 votants * (3 points) + 7 votants *(1 point) = 19 points
Hollande =4 votants *(1points) + 3 votants * (2 points) + 4 votants * 3 points = 22 points
Bayrou = 8 votants * (2points) + 3 votants * (3points) = 25 points

Dans le cas présent, Bayrou est élu. Ce qui, d’après les préférences des votants, correspond bien au candidat le plus à même de satisfaire la majorité (n’étant jamais classé en dernière position).

Outre le fait de fonctionner en un seul tour (plus économique), la méthode de Borda n’a pas les inconvénients de la procédure de vote actuelle. A vrai dire, elle a toutes les propriétés que l’on pourrait communément souhaiter pour une élection présidentielle sauf une  : Le résultat de l’élection varie si certains candidats se désistent. En effet, les points associés aux différents candidats dépendant de leur rang sur les différents bulletins de vote, le désistement d’un candidat change la distribution des points de tous les candidats.

C’est le seul et unique point négatif de cette procédure. Après, reste à savoir si c’est véritablement un problème. Dans la mesure où cette méthode marche si l’on autorise les exaequo, il suffit que le dernier du classement est 0 et que les points soient donnés de la même façon qu’en F1 (le premier a beaucoup plus de points que le second et ainsi de suite afin d’accroître l’importance du rang) pour que l’on obtienne une procédure de vote au combien meilleure que celle actuellement en vigueur. Bien sur, cela risquerai de permettre aux gens de donner leur véritable opinion…

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  1. Droop
    6 avril 2012 à 15:57

    Bonjour,

    Je salue cette importante initiative que vous avez eu de diffuser cet article qui présente un cours que j’avais suivi en M2.
    Néanmoins je tenais à apporter quelques critiques à votre travail :
    si il est vrai que le vote uninominal à un ou deux tour est exécrable, la méthode de Borda n’est pas si avantageuse que cela, et encore moins pour les raisons que vous donnez.

    Dans le cadre d’une élection présidentielle, évaluer une procédure de vote à l’aide d’Arrow n’est absolument pertinent. Arrow affirme que l’on ne peut avoir une procédure qui prend en compte l’avis de tous les membre de la société et qui vérifie :
    -universalité : on parvient toujours à un résultat apres le vote. C’est important car on ne souhaite pas après avoir mobilisé des gens et une population, dire « ah ben compte tenu des votes on ne sait pas qui gagne »
    -indépendance aux candidats non pertinents : le classement relatif des candidats n’est pas affecté par l’ajout ou le retrait de candidat. Je suis d’accord avec vous que ce n’est pas très important, les candidats ne s’ajoute pas au milieu, peu de chance de retrait et quand bien même est ce si grave vu qu’on en élit qu’un seul?
    -indépendance aux votants non concernés : si j’organise de façon national l’élection des maires de france, l’avis d’un parisien sur le maire de marseille ne doit pas influencer le choix du maire de marseille. Dans le cas des présidentielle tout le monde est concerné donc on s’en fout aussi.
    A part l’universalité, les autres conditions mis en avant par Arrow nous importe peu dans une élection présidentielle.

    En mon sens le seul critère réellement pertinent pour évaluer une procédure de vote est son analyse vis à vis de l’insensibilité aux votes stratégiques (exemple 4 et 5 de l’article, plus pertinent selon moi que l’exemple 6 qui relève plus d’un « coup de chance » non stratégique) : un votant est inciter à exprimer c’est réel préférences, il n’est pas possible en sur classant ou sous classant un candidat, d’obtenir un meilleur résultat. Exemple :
    Si 10 votants on cette préférence a>b>c>d et que le candidat élu est c, il est possible pour eux, avec le système français actuelle, de voter b>a>c>d et d’obtenir la victoire de b préférable pour eux. La démagogie à rebaptisé la manipulabilité de la procédure de vote actuelle « vote utile », HollandUtil comme vous l’évoquez à très juste titre en début de cet article.
    Il se trouve que Borda, et particulierement Borda-F1 est aussi manipulable!! : b>a>c>d, en ramenant plus de point à b peut suffire à le faire passer devant c (mais moins quand même, ça resterait un progrès par rapport au vote uninominal à deux tour)

    Le problème avec les votes stratégiques (ie. la manipulation) c’est que chaque votant, devenu stratège, usera des informations dont il dispose pour manipuler le résultat des élections. Or les informations sont communes à tous les votants (média, sondage etc.) et sont controlé de fait, en partie par les politiques et les lobbyistes. La boucle est bouclée, l’élu contrôle l’élection et le dernier bastion de démocratie semble très chancellant.

    Maintenant une procédure de vote non manipulable, je suis toujours à la recherche. Le vote alternatif (http://voteaupluriel.org/des-modes-de-scrutin) bien que loin d’être parfait me semble avoir quelques avantages : manipulable certe mais par un parti qui fera une coalition avec d’autre parti : on garde la richesse des débats politiques et on tendrait à élire un consensus de parti (ce qui n’exclu pas la corruption). Mais il me reste encore beaucoup d’autre procédure à analyser!

    S.

    J'aime

    • 10 avril 2012 à 21:57

      Merci pour votre retour constructif.
      Mon objectif n’était pas d’évaluer Borda au regard du théorème d’Arrow, mais à la relecture de mon post je reconnais que le raccourci employé donne cette impression, ce qui n’est pas pertinent.
      La référence à Arrow avait pour objectif de faire sentir au lecteur qu’il n’existe pas (pour un nombre de votant fini et un nb de candidat >3) de méthode d’agréation pouvant simultanéement satisfaire les conditions d’universalité, de transitivité, d’unanimité, d’indépendance, de monotonie et de non dictature.
      Propriétées dont on souhaiterait idéalement doter une procédure de vote. Je ne souhaitais pas entrer dans le détail de celles-ci et ai résumé un peu maladroitement cela en « procédure parfaite ». Mais vous avez raison, arrow pose un résultat d’impossibilité sans utililiser autant de conditions que celles que je viens de citer.

      Indépendamment de Arrow, dans l’ensemble de propriétées précédemment cité, la seule que Borda ne satisfait pas est la règle d’indépendance, qui n’est pas – et il me semble que nous sommes d’accord sur ce point – réellement un problème dans le contexte d’une élection présidentielle.

      Considérant l’angle sur lequel vous souhaitez évaluer une procédure de vote (sa sensibilité au vote stratégique, ou autrement dit sa manipulabilité), il me semble qu’il n’existe pas de procédures non manipulables. Donc oui, Borda est manipulable. Mais le fait qu’elle soit neutre, anonyme, séparable, monotone, et quelle incite à la participation font d’elle une procédure qui me convient.
      Et le fait d’utiliser un classement et de prendre en compte celui-ci dans le calcul du score permet de faire emerger un résultat à mon sens plus fidèle que le vote alternatif où seul le premier choix compte à un instant t puisque les voix des petits partis, éliminés, rebasculent sur les « grands » candidats. Dans le cas du vote alternatif, c’est un opérateur ou-exclusif entre les choix triés des individus; dans le cas de borda, c’est un ou associé à degré d’approbation. Ce qui a mon sens fait toute la différence.

      Concernant l’aspect informationnel (médias,etc…), vous touchez là le point clé que constitue l’information asymétrique dans la prise de décision (cf Joseph Stiglitz, dans le domaine pas si éloigné qu’est l’économie).

      Merci pour le lien sur l’étude de différents mode de scrutins, ainsi que pour la qualité de votre retour.

      Je vais tacher de prendre en compte vos remarques pour clarifier certains points du post afin de ne pas polluer le net avec des imprécisions/erreurs, déja suffisamment présentes sur la toile.

      J'aime

  2. Droop
    17 avril 2012 à 14:52

    Bonjour,

    Merci d’avoir pris la peine de lire mon commentaire et d’en modifier votre article.
    Sans remettre en cause votre analyse, je souhaitais continuer ce débat intéressant. En ce qui me concerne, je ne suis pas particulièrement convaincu par Borda et en particulier Borda F1.
    Je m’explique, pour moi, une procédure de vote pour les présidentielles doit respecter au moins les critères suivants :
    – Monotonie. afin que le candidat élu représente effectivement les préférences des électeurs (et pas la loterie que nous avons actuellement)
    – Résistance au votes stratégique. Aucune procédure de vote interessante n’y est invulnérable (http://en.wikipedia.org/wiki/Gibbard%E2%80%93Satterthwaite_theorem) néanmoins il est important de limiter l’impact des sondages et des médias sur les choix car cette unique source d’information, manipulable par les lobbyistes, contrôle alors la masse électorale. En particulier le vote utile, ou un électeur effectue une véritable inversion de ces préférences sous pression médiatique.
    – Simplicité cognitive. La procédure doit être simple à comprendre, le bulletin doit être simple à décider, et les conséquences d’un vote simple à déduire.
    (anonymat et neutralité étant généralement respectés : une procédure ne les respectant est généralement conçus pour car il faut qu’elle prenne en compte des informations supplémentaires sur l’identité des votants et/ou des candidats)

    Borda est certe monotone mais !

    Imaginons un cas très simplifié de 2002 ou la droite présente deux parties D1 et D2 qui chasse le même électorat et la gauche très divisée en présente 4 : G1 le parti de tête, G2 et G3 deux partis important et G4 un petit parti. Je prends un cas d’école avec une population de 51% de gauche contre 49% de droite pour montrer que sans vote utile, les parties de droite l’emportent.

    Borda avec comme points : 50, 20, 10, 4, 1, 0
    Voici la configuration de votes sincères :
    25% D1 > D2 > G2 > G1 > G3 > G4
    24% D2 > D1 > G2 > G1 > G3 > G4
    20% G1 > G3 > G2 > G4 > D1 > D2
    11% G2 > G1 > G3 > G4 > D1 > D2
    11% G3 > G2 > G1 > G4 > D1 > D2
    9% G4 > G3 > G1 > G2 > D1 > D2

    Voici le résultat :
    1734 points pour D1
    1700 points pour D2
    1616 points pour G1
    1496 points pour G2
    (…)

    G1 perd alors que G1 est préféré par plus de la moitié des électeurs, et que plus de la moitié des électeurs veulent tous sauf les deux gagnants. G2, est aussi très bien placé, gagnant de condorcet sur D1, D2 et G1 et fait un piètre score.
    On se retrouve alors dans le même cas de figure du fait de l’emmiettement des voix des électeur. Pour gagner il s’agit donc de réduire au maximum le débat électoral pour aboutir à une bipolarisation forçant l’électeur à voté pour le parti le même cas de figure. ou alors faire une grande campagne médiatique pour expliquer, à très juste titre, qu’un vrai citoyen de gauche doit! voter G1 sinon on risque d’avoir D2 au deuxième tour.
    Les électeurs de droite seront obliger de donner à contre coeur beaucoup de points au partis de gauche même si aucune de leurs mesures ne les intéresse. Du coup, au vu des sondages, il placeront stratégiquement G1 et G2 en fin de liste, après G4, même si il juge G1 et G2 moins pire que G4. Sans vote utile de la part de l’électorat de gauche, les électeurs de droites, satisfait de leurs premier choix creuseront encore plus l’écart en mettant les petits partis en tête de leur préférences! « Je suis d’extrème droite mais je met un petit parti d’extrème gauche en troisième parce que je sais que ce parti n’a aucune chance de passer ou se desistera ».

    Cet exemple montre que Borda et en particulier Borda F1 n’incite pas du tout les gens à donner leur véritable opinion!! Au contraire il rends la manipulation bien plus efficace que le simple vote utile du scrutin uninominal à deux tours. Imaginez de plus la complexité cognitive de devoir décider un ordre de préférence strict sur l’intégralité des 16 candidats de 2002 en ayant ces considérations en tête?

    Bien sûr nous sommes d’accord qu’aucune procédure de vote n’est parfaite. Mais au regards des critères que j’ai (je l’avoue, de façon totalement arbitraire) jugé pertinent pour une élection présidentielle, borda est faiblement résistant à la manipulation et très compexe du point de vue cognitif. En prêchant pour ma paroisse, je vous recommande de jeter un coup d’oeil à une autre famille de vote, les vote par notation (qui échappe d’ailleurs totalement au cadre d’arrow auquel vous vous intéressiez puisqu’il ne s’agit pas d’un vote par classement). On les retrouve notamment dans le vote par approbation, note et valeur (aussi jugement majoritaire plus complexe et moins expressif dans le cadre d’une élection présidentielle). Vous trouverez un argumentaire très bien fait sur ce site http://www.votedevaleur.org/co/votedevaleur.html et quelques études : https://docs.google.com/viewer?url=http%3A%2F%2Fcournot2.u-strasbg.fr%2Fusers%2FANR3LB%2FPre_rapport_experimentation.pdf https://docs.google.com/viewer?url=http://www.aenorm.eu/artikelen/63-Peters.pdf&pli=1 et http://www.agoravox.fr/actualites/politique/article/vote-par-note-et-vote-par-26819#forum1469456.
    Ces procédures ont la particularité de ne pas induire un ordre total sur les candidats. La manipulation existe alors mais il n’est jamais pertinents d’inverser deux candidat, soit une estimation équivalente est transformé en un ordre strict, soit un ordre strict est transformé en équivalence. On « aplatit » ces préférences : « vais je donner un avis nuancé ou un avis tranché » mais dans tout les cas on donne vraiment son avis. Le phénomène d’émiettement des voix disparait favorisant un vrai débat politique, sincère entre les différents partis : dans une telle procédure le phénomène Mélenchon par exemple n’aurait pas été craint du PS criant au vote utile! Au contraire, il aurait encouragé la participation et leur aurait amené plus de voix. Le débats politiques est favorisé car les partis ne se battent pas entre eux, ne cherchent pas à se « voler » des voix, mais s’adresse au peuple en essayant de plaire au plus et d’être rejetté par le moins. Ainsi, peu manipulable, il est bien évidemment monotone et simple cognitivement puisqu’il s’agit pour chaque candidat de leur donner ou leur retirer des points avec la possibilité de ne pas se prononcer (note et valeur). Les votes par note et valeur ont aussi cette avantage de casser la dictature de la majorité : la possiblité très original de pouvoir rejeter un candidat empêche les stratégies de campagne de type « diviser pour régner ».
    Ce vote me semble particulièrement intéressant car outre ses avantages théoriques, il favorise le débat politique et limite les stratégies de clivage au sein de la population. Il favorise les candidats de consensus qui pourrait être vus actuellement comme les centristes, néanmoins l’instauration d’un tel système conduirait les candidats à revoir leur stratégie de campagne et à ne plus fonctionner par étiquette mais plutôt par lignes directrices. On peut noter d’ailleurs que le candidat étiqueter « du consensus » actuellement est plutôt François Hollande par son caractère que Fançois Bayrou par son étiquette.

    J’espère que ce commentaire vous donnera quelques pistes de reflexion. Je vous laisse consulter mon premier lien pour vous faire votre propre avis, et éventuellement me répondre 😉

    S.

    J'aime

    • 28 juin 2012 à 17:40

      Bonjour Droop,
      Désolé pour le temps de réponse, par défaut les commentaires étaient acceptés automatiquement après un premier message validé de ma part, je n’avais donc pas vu vos « nouveaux » messages. Je rajoute ça sur ma liste de choses à faire 🙂
      Pour ce qui est de l’accès à l’information et de la relative influence des médias, vous touchez là un aspect important des démocraties actuelles. Quelle est la capacité de chaque individu à se faire sa « propre » opinion tout en étant conscient de l’influence du contexte ? et comment un Etat peut-il mettre sa population en situation de se forger un esprit critique constructif ?

      J'aime

  3. Droop
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